Schwingungen und Wellen

Schwingungen lassen sich als periodisch Änderungen einer physikalischen Größe um einen Mittelwert beschreiben. Breiten sich Schwingungen im Raum aus, werden sie Wellen genannt. Es existieren verschiedene Formen von Wellen. So lassen sich Schallwellen als Form mechanischer Wellen von elektromagnetischen Wellen unterscheiden. Zu den Schallwellen gehören z. B. Töne und Geräusche, zu den elektromagnetischen Wellen zählen u. a. das für Menschen sichtbare Licht oder die Gammastrahlung. Die Richtung von Wellen kann durch Reflexion oder Beugung geändert werden.

Redaktionelle Verantwortung: Stanley Oiseth, Lindsay Jones, Evelin Maza

Inhalt

Grundbegriffe von Schwingungen und Wellen

Schwingungen

Wellen

Reflexion und Beugung

Schallwellen

Elektromagnetische Wellen

Quellen

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Grundbegriffe von Schwingungen und Wellen

Eine Periode nennt man einen vollständigen Hin- und Hergang des schwingenden Körpers.
Die Amplitude ist der größte Ausschlag aus der Ruhelage.
Die Periodendauer T ist die Zeit, die ein schwingender Körper für einen Hin- und Hergang benötigt, d. h. für eine Periode. Sie heißt auch Schwingungsdauer.
Die Frequenz ist der Quotient aus der Anzahl der Perioden und der dazu benötigten Zeit.
Unter Elongation versteht man den momentanen Abstand zur Ruhelage.
Als Kreisfrequenz bezeichnet man die Winkelgeschwindigkeit einer Kreisbewegung, deren Projektion auf eine Gerade eine harmonische Schwingung ergibt.
Die Phase wird durch die beiden Schwingungsgrößen Elongation und Zeit bestimmt. Sie ist kennzeichnend für den augenblicklichen Zustand der Schwingung.
Die gedämpfte Schwingung ist eine Schwingung mit einer Amplitude, die meist aufgrund der Reibung kontinuierlich abnimmt.
Die ungedämpfte Schwingung ist eine Schwingung mit einer konstant bleibenden Amplitude. Die Voraussetzung ist aber, dass die zugeführte Energie dem schwingenden System erhalten bleibt. Durch ständige kleine Energieverluste ist eine ungedämpfte Schwingung in der Realität nur annähernd möglich. Möchte man eine wirklich ungedämpfte Schwingung erzeugen, müssen die auftretenden Energieverluste durch eine regelmäßige Energiezufuhr ausgeglichen werden.

Schwingungen

Schwingungen sind Vorgänge, bei denen sich eine physikalische Größe in Abhängigkeit von der Zeit periodisch ändert. Hierzu gehören Bewegungen, die periodisch um eine Ruhelage erfolgen.

Die bedeutendste Schwingungsform ist die harmonische Schwingung, die zeitliche Änderung der physikalischen Größe ist hier sinusförmig. Alle anderen Schwingungsarten sind nicht harmonisch.

Die ungedämpfte harmonische Schwingung

Harmonische Schwingungen werden meist als Sinusschwingungen bezeichnet. Der Grund dafür ist, dass die Elongation eine Sinusfunktion der Zeit ist.

Die harmonische Schwingung ist eine ungleichmäßig beschleunigte Bewegung. Ihre Beschleunigung ist eine Funktion der Zeit.

Zu jedem Zeitpunkt einer harmonischen Schwingung wirkt in der Beschleunigungsrichtung eine Kraft, die den schwingenden Körper in seine Mittellage bringen möchte. Man bezeichnet diese Kraft als Rückstellkraft. Diese Rückstellkraft ist proportional zur Elongation.

Für mechanische Schwingungen lautet die Grundgleichung der Dynamik:

$$ Fr = m \cdot a $$

Fr: Rückstellkraft
m: Masse
a: Beschleunigung

Aus diesem Grundsatz lässt sich die Gleichung der ungedämpften harmonischen Schwingung herleiten:

$$ \ddot{y}+y\cdot w^{2}= 0 $$

y: Elongation
ω: Kreisfrequenz

Erzwungene Schwingungen

Wird ein schwingungsfähiges System aus der Ruhelage ausgelenkt und schwingt dann ohne zusätzliche Einschränkungen aus, so handelt es sich um eine freie Schwingung. Die Frequenz der freien Schwingung nennt man Eigenfrequenz.

Wirkt aber auf das schwingende System eine periodisch veränderliche Kraft, die das System zum Mitschwingen zwingt, dann spricht man von einer erzwungenen Schwingung. Auf das schwingende System wirken dann drei Kräfte:

Rückstellkraft
Dämpfungskraft
Erregerkraft

Resonanz

Ist die Erregerfrequenz gleich der Eigenfrequenz der Schwingung, dann tritt die Resonanz auf. Bei einer kleinen Dämpfung nimmt die Amplitude sehr stark zu. Im Alltag und der Technik ist die Bedeutung der Resonanz sehr groß.

Da die meisten mechanischen Gebilde schwingungsfähig sind und durch äußere periodische Kräfte angeregt werden können, kann es im Resonanzfall zu einer starken Vergrößerung der Amplitude und somit zu einer Zerstörung des Gebildes kommen.

Um eine derartige „Resonanzkatastrophe“ verhindern zu können, muss man periodische Kräfte vermeiden oder große Differenzen zwischen der Eigenfrequenz und der Erregerfrequenz einhalten, Dämpfungsmöglichkeiten schaffen und eine Resonanzfrequenz nur für eine Zeitspanne zulassen, die kleiner als die Einschwingzeit ist. Bei Drehbewegungen wird die Resonanzfrequenz als eine kritische Drehzahl bezeichnet.

Überlagerung von Schwingungen

Jedes schwingende System kann mehrere Schwingungen gleichzeitig ausführen. Die einzelnen Schwingungen überlagern sich und bilden eine resultierende Schwingung. Es gilt: Werden schwingende Körper zu mehreren Schwingungen angeregt, so überlagern sich diese, ohne sich gegenseitig zu stören.

Zu unterscheiden sind dabei Schwingungen, die die gleiche Schwingungsrichtung besitzen und Schwingungen, deren Schwingungsrichtungen rechtwinklig zueinander verlaufen.

Überlagern sich zwei harmonische Schwingungen mit der gleichen Richtung und Frequenz, so entsteht wiederum eine harmonische Schwingung gleicher Frequenz, deren Amplitude von den Einzelamplituden abhängig ist. Auch die Phasen der Ausgangsschwingungen beeinflussen die Amplitude der resultierenden Schwingungen.

Überlagern sich zwei Schwingungen mit gleicher Richtung aber ungleicher Frequenz, so resultiert eine nichtharmonische Schwingung.

Wellen

Einen Schwingungsvorgang in einem ausgedehnten Medium bezeichnet man als schwingende Welle. Ein ausgedehntes Medium besteht aus einer Vielzahl von schwingungsfähigen Teilchen, welche alle miteinander gekoppelt sind. Erfährt eines dieser Teilchen einen Schwingungsimpuls, so wird es zum Zentrum einer sich ausbreitenden Wellenbewegung.

Eine Welle ist ein räumlich und zeitlich periodischer Vorgang, bei dem Energie transportiert wird, aber keine Masse. Die Ausbreitungsrichtung einer Welle heißt Wellenstrahl. Senkrecht zum Wellenstrahl verläuft die Wellenfront. Eine Wellenfront ist der geometrische Ort aller Teilchen, die zu einer gleichen Phase gehören.

Der Abstand zweier Wellenfronten heißt Wellenlänge. Der Abstand zweier benachbarter Teilchen der gleichen Schwingungsphase ist die Wellenausbreitung. Sie ist orts- und zeitunabhängig. Die Wellenausbreitung kann nach dem Huygensschen Prinzip der Elementarwellen gedeutet werden.

Huygenssches Prinzip: Jeder von einer Wellenbewegung erfasste Punkt eines Mediums kann selbst als Ausgangspunkt einer neuen Welle betrachtet werden – einer sogenannten Elementarwelle. Jede Wellenfront kann man als eine einhüllende von Elementarwellen auffassen. Das hyugenssche Prinzip hat für alle Wellenarten Gültigkeit, sogar für elektromagnetische Wellen.

Wellenarten

Längswellen (Longitudinalwellen): Die Teilchen schwingen in der Ausbreitungsrichtung hin und zurück. Schwingen die Teilchen in die Ausbreitungsrichtung, herrscht ein Überdruck (Verdichtung). Wo sie entgegen der Ausbreitungsrichtung der Welle schwingen, herrscht ein Unterdruck (Verdünnung). Verdichtung und Verdünnung wechseln einander ab.
Querwellen (Transversalwellen): Die Teilchen schwingen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle. Wellentäler und Wellenberge wechseln einander ab.
Lineare Wellen sind eindimensionale Wellen. Ihre Ausbreitungsmöglichkeit besteht nur in einer Richtung.
Flächenwellen sind zweidimensionale Wellen. Ihre Ausbreitungsmöglichkeit ist flächenhaft.
Raumwellen sind dreidimensionale Wellen. Ihre Ausbreitungsmöglichkeit ist räumlich.

Bei Flächenwellen mit einem punktförmigen Erregerzentrum sind die Wellenfronten Kreise. Bei Raumwellen mit einem punktförmigen Erregerzentrum sind die Wellenfronten Kugelschalen.

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle ergibt sich aus dem Produkt der Frequenz f, mit der jedes Teilchen der Welle schwingt und der Wellenlänge λ:

$$ c = f \cdot \lambda $$

Folgende Gesetzmäßigkeiten haben für die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Wellen Gültigkeit:

Elastische Querwelle in Festkörpern:

$$ c = \sqrt{(\frac{F}{\rho \cdot A}}) $$

Elastische Längswelle in Festkörpern:

$$ c = \sqrt{\frac{E}{\rho}} $$

Längswelle in Flüssigkeiten:

$$ c = \sqrt{\frac{K}{\rho}} $$

c: Ausbreitungsgeschwindigkeit
F: Spannkraft
A: Querschnittsfläche
ρ: Dichte des Mediums
E: Elastizitätsmodul
K: Kompressionsmodul

Überlagern sich zwei Wellen, die in Amplitude, Frequenz und Wellenlänge übereinstimmen, aber in entgegengesetzter Richtung verlaufen, entsteht eine stehende Welle. Bei einer stehenden Welle wandert das räumliche Bild nicht weiter. Stellen maximaler Auslenkung (Wellenbäuche) und Stellen mit einer Auslenkung gleich null (Knoten) bleiben ortsfest.

Stehende Wellen können bei der Reflexion an einem dünneren oder einem dichteren Medium entstehen. Am häufigsten kommt es zu einer stehenden Welle, wenn sich eine lineare Welle nach einer Reflexion mit sich selbst überlagert.

Reflexion und Beugung

Reflexion

Trifft eine Welle an der Grenzschicht ihres Mediums auf ein anderes Medium, so wird sie ganz oder teilweise zurückgeworfen. Dieser Vorgang heißt Reflexion. Das Reflexionsgesetz lautet folgendermaßen:

Beim Übergang zwischen zwei Medien wird der Wellenstrahl gebrochen, die Ausbreitungsrichtung und die Ausbreitungsgeschwindigkeit ändern sich. Für die Ausbreitungsgeschwindigkeiten gilt das Brechungsgesetz:

$$ \frac{sin\alpha }{sin\beta } = \frac{c_{1}}{c_{2}} $$

Beugung

Eine weitere Änderung der Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle findet man an den Grenzen eines Hindernisses, z.B. eines Spalts. Das Hindernis wirft keinen scharfen Schatten. Die Erscheinung der Beugung kann mit dem Huygensschen Prinzip erklärt werden.

Die Energie des Wellenteilchens, das durch den Öffnungsspalt der Wand gebeugt wird, verteilt sich so auf die einzelnen Richtungen nach der Beugung, dass die Energieanteile mit zunehmenden Beugungswinkel abnehmen. Als Beugungswinkel bezeichnet man den Winkel zwischen der ursprünglichen Wellenrichtung und den neuen Wellenrichtungen.

Schallwellen

Schallwellen sind mechanische Longitudinalwellen. Sie haben ihren Ursprung in der Schallquelle, einem schwingenden Körper und breiten sich in Festkörpern, Flüssigkeiten und Gasen in Form von Druckwellen aus.

Beispiel: Für das menschliche Ohr sind Frequenzen von 16 Hz bis 20000 Hz hörbar. Bei Frequenzen, die unter 16 Hz liegen, spricht man von Infraschall. Bei Frequenzen, die über 20000 Hz liegen, spricht man von Ultraschall Ultraschall Ultraschall (Sonographie).

In der Akustik unterscheidet man in folgende Arten:

Ton: Graphisch dargestellt ist der reine Ton eine Sinuskurve. Die Höhe des Tons wird durch die Frequenz bestimmt. Den Höhenabstand zweier Töne bezeichnet man als Intervall. Bei Tonintervallen wird der tiefere Ton als Grundton bezeichnet. Der höhere Ton ist die Oktave, die Quinte, die Quarte usw. Das mit dem Gehör feststellbare musikalische Intervall zweier Töne ist durch den Quotienten ihrer Frequenzen bestimmt.
Klang: Mehrere sinusförmige Schwingungen überlagern sich zu einer nicht sinusförmigen Schwingung. Die Tonhöhe wird dabei vom Grundton bestimmt, die anderen Töne vermitteln die Klangfarbe.
Geräusch: ein Gemisch zahlreicher Töne, rasch wechselnder Frequenzen und Stärke.
Knall: ein starkes Schallereignis, das schlagartig einsetzt und nur kurzzeitig wirksam ist.

Schall

Alles, was wir mit dem menschlichen Ohr wahrnehmen können, wird Schall genannt. Man unterscheidet zwischen Tönen und Geräuschen. Wie wir ein Schallereignis wahrnehmen, ist von der Lautstärke, der Tonhöhe und der Klangfarbe abhängig.

Schall geht von einem Schallerreger aus – dieser ist ein schwingungsfähiger Körper.

Damit Schall an unser Ohr gelangen kann, muss dieser durch einen Schallträger übermittelt werden. Zur Schallausbreitung sind feste, flüssige oder gasförmige Körper als Schallträger nötig. Im Vakuum kann Schall nicht übertragen werden. Eine Schallquelle erzeugt im Schallträger fortschreitende Längswellen. Die Schallempfindung erfolgt, sobald diese Längswellen unser Ohr (Schallempfänger) erreichen.

Schallgeschwindigkeit

Die Schallgeschwindigkeit gibt an, wie schnell sich der Schall in einem bestimmten Schallträger ausbreitet. Sie ist eine von der Frequenz unabhängige Größe. In der Luft liegt die Schallgeschwindigkeit z.B. bei 340 m/s, in Wasser bei 1440 m/s.

Schallwellen werden, wenn sie auf ein anderes Medium treffen, an der Übergangsgrenze reflektiert.

Beispiel: Bei einer sonographischen Messung werden vom Schallsender abgeschickte Frequenzen einer bestimmten Größe an einer Grenzfläche (etwa Gewebe oder Blutbestandteile beim Dopplerverfahren) reflektiert und mit einer Messsonde in einer veränderten Frequenz wieder aufgefangen. Aus der benötigten Zeit lässt sich bei einer bekannten Schallausbreitungsgeschwindigkeit (oder bei bekannten Anfangsfrequenzen) der zurückgelegte Weg berechnen.

Elektromagnetische Wellen

Die elektromagnetische Welle besteht aus elektrischen und magnetischen Feldern, welche miteinander gekoppelt sind. Sie sind abhängig von der Frequenz.

Elektromagnetische Wellen können sich sowohl im freien Raum als auch im Vakuum ausbreiten. Sie benötigen kein Trägermedium. Im Vakuum breiten sich diese Wellen mit Lichtgeschwindigkeit aus. Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum beträgt nach heutigen Messungen c = (299792,5 + / – 0,9) km/s.

Infrarotes Licht

Das weiße Licht einer Bogen- oder Glühlampe liefert eine unsichtbare Strahlung, die im sichtbaren Spektrum neben Rot zu finden ist. Sie wird als infrarote Strahlung bezeichnet und liefert das infrarote Licht.

Ultraviolettes Licht

Außerhalb des violetten Bereichs des sichtbaren Farbspektrums befindet sich der ultraviolette Farbbereich. Die Reizung und Bräunung der Haut Haut Haut: Aufbau und Funktion bei einer Sonneneinwirkung ist auf den ultravioletten Lichtanteil zurückzuführen. Quecksilberdampflampen, die man als künstliche Höhensonnen verwendet, senden ebenfalls ultraviolettes Licht aus.

Die verschiedenen Farbeindrücke werden unserem Auge durch verschiedene Frequenzen des sichtbaren Spektrums vermittelt:

Spektrum des für Menschen sichtbaren Lichts
Bild: „Humanly Visible Spectrum“ von Johannes Ahlmann. Lizenz: CC BY 2.0

Gammastrahlung

Neben den Atombausteinen Protonen, Neuronen Neuronen Nervensystem: Histologie und Elektronen kennt man heute noch über 200 andere Elementarteilchen. Viele von ihnen sind das Ergebnis der Wechselwirkung zwischen der Erdatmosphäre und kosmischer Strahlung oder das Produkt aus Kernzertrümmerungen mithilfe von Teilchenbeschleunigern. Die Elementarteilchen sind in folgende Gruppen unterteilt:

Leptonen: leichte Teilchen
Mesonen: mittelschwere Teilchen
Baryonen: schwere Teilchen

Die meisten Elementarteilchen existieren mit einer gegenpoligen elektrischen Ladung und einem umgekehrt magnetischen Moment als sogenannte Antiteilchen. Trifft ein Teilchen mit seinem Antiteilchen zusammen, so kommt es zur Zerstrahlung. Ihre Energie wird als Gammastrahlung frei.

Quellen

Harten U.: Physik für Mediziner. 16. Auflage. Springer Verlag GmbH. 2020. https://doi.org/10.1007/978-3-662-61356-6
Seibt W.: Physik für Mediziner. 7. Auflage. Thieme Verlag. 2015