Einführung in die Differentialrechnung von Dipl.-Kfm. / Dipl.-Volksw. Rolf Stahlberger

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Dozent des Vortrages Einführung in die Differentialrechnung

Dipl.-Kfm. / Dipl.-Volksw. Rolf Stahlberger

Rolf Stahlberger hat Mathematik, Betriebswirtschaftslehre und Volkswirtschaftslehre in Karlsruhe und Hagen studiert. Er hat langjährige Erfahrung als Dozent und Mentor in Vor-Ort Seminaren sowie Webinaren. Schwerpunkte seiner Forschung liegen bei Operations Research und dem Wirtschaftsingenieurwesen.

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Auszüge aus dem Begleitmaterial

... Grundlagen der Differentialrechnung Fernstudium Guide Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jegliche unzulässige Form ...

... Analysis II 6.3 Änderungsraten und Elastizitäten 6.4. Lokale und globale Extrema 6.5. Extrema unter Nebenbedingungen Kapitel 7 - Integralrechnung 7.1 Einführung 7.2 Rechenregeln 7.2.1 Übungsaufgaben 7.3 Partielle Integration 7.4 Substitutionsregel 7.5 Grafische Analyse Analysis Teil 1 Kapitel 1 - Differentialrechnung 1.1 Grundlegendes ...

... Durchschnitt in den ersten eineinhalb Jahren eine Beziehung beide Partner stetig zufriedener machte und dann nach ca. 3 Jahren das Maximum an Zufriedenheit ...

... unabhängigen Variablen x gebildet werden. Die Sekante ist eine Gerade, die durch die Punkte A und B verläuft. Wesentlich ist ihre Steigung. Dazu kann man den Winkel a messen. Dieser gibt die Steigung der Sekante an. xf(x)x0x1f(x1)f(x0)a Δy=fx 1 () −f(x 0 ) Δx=x 1 −x 0 AB ...

... x0 ist gleich der Steigung des Differenzialquotienten, wenn x gegen x0 strebt. Sie entspricht damit der Tangentensteigung im Punkt x0. Tangente ABCD. Während die erste orangene Sekante noch zwischen A und B verläuft, laufen die blaue und die gelbe Sekante zwischen C bzw. D und A. Dabei wird der Winkel zur waagrechten hellroten Gerade ...

... dx x=1 = y 1 −y 0 x 1 −x 0 = 2,25−1,25 1,5−0,5 =1 Steigung der Tangente bei x = 0,5: Die Steigungswerte der Tangente sind abhängig von der Funktion und des Punktes x, an dem man die Tangente ...

... differenzierbar in x0 = 5, sonst aber ist die Funktion differenzierbar. Wir können den Differenzenquotienten berechnen und erhalten: fx () −f(x 0 ) x−x 0 = x−5−x 0 −5 x−x 0 = x−5−5−5 x−5 = x−5 x−5 = ...

... reellen Zahlen differenzierbar - Jede Logarithmusfunktion ist auf der Menge der positiven reellen Zahlen differenzierbar. - Jede Sinus- und Cosinusfunktion ist auf der Menge der reellen Zahlen differenzierbar. - Jede gebrochenrationale Funktion ist ...

... stetig oder differenzierbar? Gibt es Ausnahmestellen? f(x)= 1 x−3 ...

... differenzierbar und damit auch stetig außer bei x=3. f(x)=2x 23 f(x)=2x 23 Nicht differenzierbar bei x=0Nicht ...

... f(x)= x−1 x+1 Nicht definiert bei x = -1 => dort weder stetig noch differenzierbar. Nicht definiert bei ...

... An welchen Stellen haben die Graphen der nachfolgenden Funktionen die gleiche Steigung? f(x)=x 2 f(x)=2x 2 f(x)=x 2 ...

... +2x+1 g(x)=−5+ 1 4 x f´(x)=2x+2=g´(x)= 1 4 ⇒2x+2= 1 4 ⇒2x= 1 4 −2= −7 4 ⇒x= −7 4⋅2 =− 7 8 141.) Bestimmen Sie die Tangentensteigung ...

... abschnittsweise definierten Funktionen und bei gebrochenrationalen Funktionen. Dort kann man nicht generell von einer Differenzierbarkeit auf der Menge der reellen Zahlen ausgehen! Polynomfunktionen, Sinus, Cosinus, die e-Funktion sind jedoch generell auf der gesamten Menge der reellen Zahlen differenzierbar! f(x)= 2x x 2-2 f(x)= ...

... 30 Grad. Zudem sie angenommen, dass der Funktionswert gleich 1 ist, wenn x=5 ist. Lösung: Eine Tangentensteigung von 30° bedeutet: Bestimmen wir noch f´(x): Vorgegeben ist, dass bei x=5 die Tangentensteigung ...

... IR differenzierbar. E) Jede konstante Funktion ist über ihrem Definitionsbereich differenzierbar. F) Die Sinusfunktion ist stetig, die Cosinusfunktion nicht G) Jede gebrochenrationale Funktion ist differenzierbar über ihrem Definitionsbereich. H) Eine Funktion, die ...

... ist über ganz IR differenzierbar. richtig! Satz 1 - Seite 8 C) Das Produkt von zwei Polynomen ist über ganz IR differenzierbar. richtig! Das Produkt ist wieder ein Polynom! D) Jede streng monotone Funktion ist über ganz IR differenzierbar. falsch! Man denke an eine Funktion mit Lücke. Es muss noch die Eigenschaft der Stetigkeit zur Monotonie hinzukommen. E) Jede ...

... x 4 ⇒f´(x)= 1 2 ⋅x 1 2 −1 = 1 2 x − 1 2 = 1 2x 1 2 = 1 2x Wurzeln:neg. Potenzen: f(x)=c⋅x n ⇒f´(x)=c⋅n⋅x n−1 f(x)=3⋅x=3⋅x 1 f(x)= 1 4 ⋅x 2 f(x)=6⋅ 1 x 3 =6⋅x −3 f(x)=ln4⋅x=ln4⋅x 1 2 ⇒f´(x)=3⋅1⋅x 1−1 =3⋅x 0 =3⋅1=3 ⇒f´(x)= 1 4 ⋅2⋅x 2−1 = 2 4 ...

... die wesentlichen Regeln zusammengefasst. 4. Die Exponentialregel: 5. Die Logarithmusregel: 6. Die Sinus- und Cosinusfunktion: 211. Differentialrechnung -> 1.2 Ableitungsregeln -> 1.2.1 grundlegende Regeln f(x)=log a x⇒f´(x)= 1 ...

... =lim x→x 0 2 x−x 0 () x+x 0 () x−x 0 =lim x→x 0 2x+x 0 () =2x 0 +x 0 () =2⋅2x 0 =c⋅f´(x)=4x 0 g(x)=2x 2 +6x g´(x)=lim x→x 0 2x 2 +6x () −2x 0 2 +6x 0 () x−x 0 =lim x→x 0 2x 2 −2x 0 2 ...

... 1. Differentialrechnung -> 1.2 Ableitungsregeln -> 1.2.1 grundlegende Regeln10. Die Quotientenregel: g(x)=f 1 (x)⋅f 2 (x)⇒g´(x)=f 1 ´(x)⋅f 2 (x)+f 1 (x)⋅f 2 ´(x) g(x)=3x 2 ⋅5x g´(x)=(2⋅3x)⋅5x+3x 2 ⋅5=(6x)⋅5x+15x 2 =30x 2 +15x 2 =45x 2 ...

... 1 2 3 4 ... 1 4 9 16 ... 3 12 27 48 ... y = v(x)=x2Menge A e IRMenge B als Teilmenge von IR v(A) ⊂ B, d.h. ...

... = u(y)=3·y u v () ´(x 0 )=u´v(x 0 ) () ⋅v´(x 0 )z.B.:(u v)´(x 0 )=3x 0 2 ()´=3y () ´⋅(x 0 2 )´=3⋅2x 0 =6x 0 Falls v in ...

... f´(x)=2⋅y () 2−1 ⋅y´=2⋅x 3 +2 () 1 ⋅3x 2 f´(x)= 1 4 ⋅y () 1 4 −1 ⋅y´= 1 4 ⋅x−4x 2 () 1 4 −1 ⋅1−8x () f´(x)= 4 3 ⋅y () 4 3 −1 ⋅y´= 4 3 ⋅x+5 () 4 3 −1 ...

... 1 ⋅2x− 1 y 2 ⋅2x= 1 x 2 −4 ⋅2x− 1 x 2 ⋅2x f´(x)= 2x x 2 −4 − 2x x 2 = 2x x 2 −4 − 2 x = 2x 2 −2x 2 −4 () xx 2 −4 () = 8 xx 2 −4 () ...