Skalarprodukt und Hessesche Normalform von Dipl.-Kfm. / Dipl.-Volksw. Rolf Stahlberger

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Dozent des Vortrages Skalarprodukt und Hessesche Normalform

Dipl.-Kfm. / Dipl.-Volksw. Rolf Stahlberger

Rolf Stahlberger hat Mathematik, Betriebswirtschaftslehre und Volkswirtschaftslehre in Karlsruhe und Hagen studiert. Er hat langjährige Erfahrung als Dozent und Mentor in Vor-Ort Seminaren sowie Webinaren. Schwerpunkte seiner Forschung liegen bei Operations Research und dem Wirtschaftsingenieurwesen.

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Auszüge aus dem Begleitmaterial

... Vektoren miteinander? Das Resultat ist das sogenannte Skalarprodukt. Dabei handelt es sich immer um eine Zahl (also einen Skalar). Leiten wir uns diese Rechenregel her. Dazu benötigen wir jedoch den Kosinussatz: In jedem Dreieck gilt: Der Satz des Pythagoras ist ein Spezialfall mit cos 90° = 0. ...

... 0. Mit den Vektoren a und b folgt für die dritte Dreieckslänge c = b-a nun:γ b = a + (b-a)ac = b-a a 2 +b 2 −2⋅a⋅b⋅cosγ=c 2 Startpunkt261. Zweidimensionaler Vektorraum -> 1.3 Skalarprodukt a 2 +b 2 −2⋅a⋅b⋅cosγ=c 2 a 2 +b 2 −2⋅a⋅b⋅cosγ=b−a ...

... Resultat ist das sogenannte Skalarprodukt. Dabei handelt es sich immer um eine Zahl (also einen Skalar). Leiten wir uns diese Rechenregel her. Dazu benötigen wir jedoch den Kosinussatz: In jedem Dreieck gilt: Der Satz des Pythagoras ist ein Spezialfall mit cos 90° = 0. Mit den Vektoren a und b folgt für ...

... T ⋅b=a⋅b⋅cos(a,b) a T ⋅b=2 2 +1 2 ⋅3 2 +(−6) 2 ⋅cos(a,b) a T ⋅b=5⋅45⋅cos(a,b) a T ⋅b=15⋅cos(a,b) 0=a T ⋅b=15⋅cos(a,b) ⇒0=cos(a,b) a= 2 1 ,b= 3 −6, a= 2 ...

... Hypotenuse ist. Lässt man nun die Ankathete immer kleiner werden, wächst der Winkel alpha immer mehr an und geht gegen 90 Grad. a= 2 1, b= 3 −6 Bei einem Winkel von 90° (senkrecht) ist ...

... nicht zwingend orthogonal zueinander stehen, wie nach nächste Beispiel zeigt. a= 2 1, b= 3 −6, a= 3 3, b= 3 −1 ...

... r unabhängig! Denn es gibt nur eine Kombination von Koeffizienten, so dass die Linearkombination der beiden Vektoren gleich Null ist. Damit bilden sie eine Basis des IR2. a= 2 1, b= 1 −2, α⋅a+β⋅b=0α,β∈IR ⇔α⋅ 2 1 +β⋅ 1 −2=0 ⇔ ...

... Zwei Vektoren bilden eine Orthonormalbasis, wenn sie orthogonal sind (hier ja) und eine Basis bilden (hier ja) und alle Vektoren die gleiche Länge Eins haben. Beide Vektoren haben nicht die Länge Eins, die Aussage ist also falsch! a T ⋅b=21 () ⋅ ...

... zusätzlich, dass x Komponente eines normieren Vektors ist, es gilt also: Jetzt kann man die obigen Gleichungen in die Wurzel einsetzen und umstellen: x,a () T =LK 3 6 ⇒ x a =α⋅ 3 6 ...

... ⇒ x a =α⋅ 3 6 ⇒x=α⋅3und a=α⋅6x,a () T =LK 3 6 x a =x 2 +a ...

... wir in die Bedingung ein und berechnen die Länge des Vektors Die Probe hat ergeben, dass der berechnete Vektor normiert ist. Wir haben also richtig gerechnet! x,a () T =LK 3 6 x a =x 2 ...

... =LK 3 6 6=α⋅6⇒α=1 x=α⋅3=1⋅3=3 x,6 () T =LK 3 6 ⇒ x 6 ...

... wir direkt auflösen: Setzen wir nun diesen Wert in die erste Gleichung ein, können wir x berechnen: Zusatzfrage: Welchen Wert müsste x haben, damit der Vektor normiert ist? Lösung: Der Vektor ist dann normiert, wenn seine Länge gleich Eins ist. x,6 () T =LK 3 6 ...

... ⇒ a x =α⋅ 26 1 ⇒a=α⋅26und x=α⋅1 a x =x 2 ...

... ist, es gilt also: Jetzt kann man die obigen Gleichungen in die Wurzel einsetzen und umstellen: Diesen Wert für alpha kann man nun in die beiden Gleichungen einsetzen und x bzw. a berechnen: a,x () T =LK 26 1 ⇒ a x =α⋅ 26 1 ⇒a=α⋅26und x=α⋅1a,x () T =LK 26 1 ...

... Punkt P(X,Y)= (1,-2). Von diesem Punkt soll nachher der kürzeste Abstand zur Geraden gemessen werden. Zuerst muss jedoch die Geradengleichung in die sogenannte Achsenabschnittsform ...

... zur Abstandsberechnung einer Geraden von einem Punkt: Nachdem man nun die Achsenabschnittsform gebildet hat, kann man die Koeffizienten der Geradengleichung unmittelbar entnehmen. Sie stehen jeweils vor den Variablen x1 und x2. Diese Koeffizienten kann man nun zum Vektor a zusammen setzen und die Länge dieses Vektors errechnen. ...

... a gefunden wurde, wird nun die Achsenabschnittsform durch diesen Wert geteilt. Setze nun den Punkt P(X,Y)=(1,-2) in die „Hessesche Normalform“ ein. Beachte dabei, dass zur Komponente x2 der Wert auf der y-Achse (also -2) und zur Komponente x1 der Wert auf der x-Achse (also 1) gehört. Der errechnete Wert (ohne das Minuszeichen) entspricht ...

... Der errechnete Wert (ohne das Minuszeichen) entspricht dem kürzesten Abstand des Punktes P(X,Y)= (1,-2) von der Geraden. 3 5 (−2)+ 4 5 (1)− 12 5 =− 6 5 + 4 5 − 12 ...

... „basteln“ uns den Vektor a: 3. Merke: Aus den Koeffizienten der Geradengleichung in Achsenabschnittsform bilde einen Vektor a. Errechne anschließend die Länge bzw. Norm des Vektors a. Unbedingt auf die Reihenfolge der Koeffizienten achten! 3x 1 ...

... um in die sogenannte Achsenabschnittsform: 2. Dann entnehmen wir die Koeffizienten vor den beiden Variablen und „basteln“ uns den Vektor a: 3. Merke: Aus den Koeffizienten der Geradengleichung in Achsenabschnittsform bilde einen Vektor a. Errechne anschließend die Länge bzw. Norm des Vektors a. 4. Teile nun die Achsenabschnittsform durch die berechnete Länge des Vektors a. Das Resultat bezeichnet man als „Hessesche Normalform“. Beachte, dass man so umstellen muss, ...

... die Reihenfolge der Koeffizienten achten! a= 3 0 4 =3,0,4, T, a=z=3 2 +0 2 +4 ()2 =9+16=25=5 vgl. Klausur März 2003 - Aufgabe 2: ähnlich Klausur. Sept 2001 - Aufgabe 4: ähnlich Klausur. Sept 2004 - Aufgabe 17: 3x ...

... Achsenabschnittsform bilde einen Vektor a. Errechne anschließend die Länge bzw. Norm des Vektors a. 4. Teile nun die Achsenabschnittsform durch die berechnete Länge des Vektors a. Das Resultat bezeichnet man als „Hessesche Normalform“. Beachte, dass man so umstellen muss, dass auf der rechten Seite eine Null steht. 5. Setze nun den Punkt P(X,Y)=(-2, 0, 4) in die „Hessesche Normalform“ ein. Beachte dabei, dass zur Komponente x2 der Wert auf der y-Achse (also 0) und zur Komponente x1 der Wert auf der x-Achse (also -2) ...

... 2 +1 () 2 = 9 16 +1= 9 16 + 16 16 = 25 16 = 5 4 vgl. Klausur März 2011 - Aufgabe 43: 3 4 x 1 +1x 2 −6 1 4 =0 a= 3 4 1 = 3 4 ,1 ...

... a. Das Resultat bezeichnet man als „Hessesche Normalform“. Beachte, dass man so umstellen muss, dass auf der rechten Seite eine Null steht. 5. Setze nun den Punkt P(X,Y)=(0,0) in die „Hessesche Normalform“ ein. Beachte dabei, dass zur Komponente x2 der Wert auf der y-Achse (also 0) und zur Komponente x1 der Wert auf der x-Achse (also 0) gehört. Damit ist der (kürzeste) Abstand des Punktes P von der Gerade g mit + 25/5 gefunden: a= 3 4 1 = 3 4 ,1 T a=z= 3 4, 2 +1 ...

... 4 x 1 + 25 4 x 1 x 2 . Anhand der Grafik kann man erkennen, dass der kürzeste Abstand zwischen der Gerade g und dem Ursprung genau gleich 5 ist. Wir können dies auch abmessen, indem wir die rote Linie „auf die x-Achse legen“. Dort erkennt man direkt, dass die Länge ...

... der Orthogonalenvektor nicht zeigt. C) z liegt auf der Geraden g. Lösung: Zuerst einmal machen wir uns dazu eine Skizze, in der wir die Gerade g einzeichnen. In der Achsenabschnittsform gilt für die Gerade die Gleichung. Diese können wir nach x2 auflösen: Nun können wir den Vektor z blau einzeichnen. Dieser ist ja ein Punkt und wie man ...